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写在前面

书接上文：【数据结构】树——顺序存储二叉树

本篇笔记主要讲解链式存储二叉树的主要思想、如何访问每个结点、结点之间的关联、如何递归查找每个结点，为后续更高级的树形结构打下基础。不了解树的小伙伴可以查看上文

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一、链式二叉树的定义

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。(二叉树有二叉链和三叉链两种表示方式，本文主要讲解二叉链。二叉链一般指孩子表示法，三叉连指孩子双亲表示法，这两种方式是二叉树最常见的表示方式，虽然还有孩子兄弟表示法，该中表示方式本质也是二叉链)

链式存储的结构体：

// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft;// 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
};
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲struct BinTreeNode* _pLeft;// 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
};

• 上面的结构体就成功创建出链式存储的二叉树

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二、链式二叉树的遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。( 不才默认左子树先运行后再运行右子树，再每次遍历先都需要规定一下左右子树的先后顺序。)

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

2.1、前序、中序以及后序遍历

前序、中序以及后序遍历的思想都是相同的，只是根节点访问的先后顺序不同，我们这里以前序遍历为例子

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

• 程序由上到下运行，应当先访问当前值，后访问左右结点。
  

输出下图中的二叉树使用前序遍历的结果(结果需要包含NULL)

• 结果为：1，2，3，NULL，NULL，NULL，4，5，NULL，NULL，6，NULL，NULL

我们画图分析，使用微元法把每一个结点都逻辑细分为一棵小树（根结点与左右结点)，在开始根节点1时，对应的左结点2和右结点4。

• 之后先输出根结点的值1
• 后访问左结点

使用微元法把2结点微元成一棵小树

• 之后先输出根结点的值2，此时结果为：1,2。
• 后访问左结点

使用微元法循环上述操作

• 之后先输出根结点的值3，此时结果为：1,2,3。
• 后访问左结点

此时3的左节点使用微元法循环上述操作后可得下图

• 之后先输出根结点的值NULL，此时结果为：1,2,3,NULL。
• 之后因为结点为NULL，所以结束访问，返回到结点3。

此时结点3中，已经完成完成了左结点的范围，写在就需要范围右结点了

我们依旧使用微元法细分结点3的右结点，可得下图

• 之后先输出根结点的值NULL，此时结果为：1,2,3,NULL,NULL。
• 之后因为结点为NULL，所以结束访问，返回到结点3。

此时结点3的所以结点已经完成遍历，返回到结点2中，结点2已经完成当前结点与左结点值的遍历，接下来进入右结点值遍历中

使用微元法循环上述操作，直到整棵树的值遍历一便即可得到结果：1，2，3，NULL，NULL，NULL，4，5，NULL，NULL，6，NULL，NULL

上面我们手搓的思想与递归简直一毛一样，那么我们在代码实现中，就可以使用递归来解决前序遍历。

根据我们手搓的画图，最终我们可以得出下图：

前序遍历的代码实现

递归的思想就是大事化小，对于递归方面有问题的小伙伴可以看不才写的递归笔记：【C语言】函数递归

代码实现：

void PreOrder(BTNode* root) {if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}printf("%d ", root->val);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}

根据上面手搓推理的逻辑，继续使用微元法来创建递归实现前序遍历

在上图这颗微元树中

• 首先需要判断这个树是否是空树，判断是否空树就是判断这个结点是否为NULL，如果结点是NULL就打印NULL并且返回。
• 判断这个结点不为空后，因为是前序遍历，这时候就先打印根结点的值root->val。
• 打印完成后就访问左孩子结点，之后再访问右孩子结点，完成。
• 在判断是否空树的条件中，恰好判断了结点为空的情况，这样也完成了我们访问左孩子或右孩子遇到结点为NULL需要返回的情况。

内存中的栈增情况：

中序遍历的代码实现

与前序遍历的实现逻辑一模一样，只是执行根结点值打印时机不同。

void InOrder(BTNode* root) {if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->val);InOrder(root->right);
}

后序遍历的代码实现

与前序遍历的实现逻辑一模一样，只是执行根结点值打印时机不同。

void PostOrder(BTNode* root) {if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->val);
}

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三、链式二叉树的元素个数

求链式二叉树的元素个数，我们还是先使用微元法来手搓计算。

计算下面二叉树有多少个元素

我们使用微元法先拆分一颗小树来分析如何计算
首先根节点不为NULL说明该根结点是有效结点，但是在这个结点中不能得到左孩子与右孩子右多少个元素个数。让左右孩子返回它有多少个元素结点。这样在这个小树中，我们才能返回这棵树有多少个结点。
所以又需要进入左右孩子中，去判断它是否是有多少个结点(如下图)

此时，我们还是不知道左右孩子各有多少个结点，我们再进入到左右孩子中(如下图)。

此时，我们还是不知道左右孩子各有多少个结点，我们再进入到左右孩子中。此时3的左节点使用微元法循环上述操作后可得下图

这时结点为NULL，说明该结点不是有效结点，返回0。

此时3结点就得到了左孩子结点的值为0，这时就需要进入右孩子中，让右孩子返回元素个数

同理，右孩子还是空，返回0，此时3结点得知左右孩子节点个数。

在3节点中左孩子返回结果 + 右孩子返回结果 再加上自身是有效结点+1就得到该结点的元素个数，左右元素个数为0，3节点是有效节点，所以返回1

节点2中就得到了左节点的元素个数，此时在按照上面的逻辑得到右节点个数为0(如下图)
在2节点中左元素个数为1，右元素个数为0，2节点是有效节点，所以返回2(如下图)

根据上面的逻辑，我们可以轻松算出1结点的右子树元素个树为3个。

此时1结点中左孩子返回结果为2 右孩子返回结果为3 再加上自身是有效结点+1就得到该结点的元素个数为：6。

虽然也是遍历求解，但是我们这里是让每个底层结点自己统计完成后，逐步向上层返回结点个数 。

代码实现

int BinaryTreeSize(BTNode* root) {if (root == NULL) {return 0;}return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

• 如果是空结点就返回0
• 使用微元法让左右结点自己返回有多少结点，再加上自身结点就是该小树的元素个数

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四、链式二叉树的高度

求链式二叉树的高度，还是使用微元法，逻辑与求个数相似。

手搓下面二叉树的高度

我们使用微元法先拆分一颗小树来分析如何计算
在上图小树中，我们知道根节点不是空结点，这时候需要判断我们需要判断左右结点哪个孩子的高度高，之后我们在最高的子结点高度加上根结点的高度(+1)即可得到这个小树的高度，我们直接微元到原二叉树左子树的最底层中(如下图)
在上图中，左右孩子的高度是0，但次结点时有效结点，所以返回结果是：0+1。(最高的子结点高度加上根结点)，

此时上层结点2就接收到左结点的高度是1，易得右结点的高度是0。
之后最高的子结点高度(1)加上根结点的高度(1)返回2(如下图)

根据上述逻辑，我们易的。1结点的右孩子返回高度是2(如下图)

这时两个孩子的高度都为2，所以该二叉树的高度为：2 + 1 = 3。

代码实现

int TreeHeight(BTNode* root) {if (root == NULL) {return 0;}int leftHeight = TreeHeight(root->left);int rightHeight = TreeHeight(root->right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

• 在递归中，返回的数据需要进行处理的返回值都必须进行保存，这样可以避免大量重复的递归。
• 每一次都需要保存左右结点的高度，这样就不需要多次重复递归即可判断出左孩子与右孩子哪个高度高。

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五、二叉树第k层节点个数

同样使用微元法求出第K层中的节点个数。

手搓下面二叉树中第3层的高度

首先，我们需要有一个变量i来记录我们当前所在的层次是否在所对于的K层中，我们使用微元法先拆分一颗小树来分析如何计算
每进入一层，i变量就--，直到i变量为1时，说明当前的层次是正确的。但此时i == 3，这时候就需要进入根节点的左右孩子中，让左右孩子告诉根节点i==1是有多少个节点

首先进入到左孩子中，此时i==2，还是没进入到对于的节点，再次进入左右孩子中，此时发现i==1，这时候左孩子为3是有效节点，返回1，右孩子NULL不是有效节点。
这时候节点2就需要把左右孩子返回的数据相加后返回。

同理可得出右子树返回结果为:2。

即的出第3层的元素个数为:3。

代码实现

int TreeKLeve(BTNode* root,int k) {if (root == NULL) {//节点为空时，返回0return 0;}if (k == 1) { //节点不为空且层次为1时，返回1return 1;}int lnum = TreeKLeve(root->left, k - 1);//记录左孩子在K层时有多少个节点int rnum = TreeKLeve(root->right, k - 1);//记录右孩子在K层时有多少个节点return lnum + rnum;//返回左孩子在K层中节点 + 右孩子在K层中节点。即为当前根下K层中所有节点个数
} 

• 在递归中，返回的数据需要进行处理的返回值都必须进行保存，这样可以避免大量重复的递归。

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六、二叉树查找值为x的节点

相对简单，但是代码逻辑中会有坑

在下面二叉树中，找到值为5的节点，并且返回该节点

只需要遍历找到值为5的节点，之后返回即可，逻辑与求元素个数大差不差。

代码实现

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {if (root == NULL) {return NULL;}if (root->val == x) {return root;}BTNode* lren = BinaryTreeFind(root->left,x);if (lren)return lren;BTNode* rren = BinaryTreeFind(root->right,x);if (rren)return rren;return NULL;
}

• 代码实现逻辑不断的遍历往下走，直到为空返回空，或者找到对应的值返回该节点。
• 如果既不为空也不是相对应的值，则接着往左右孩子中寻找X值。
• 如果左右孩子中都没有找到所对应的X值，则返回空值。
• 若找到了所对应的X值。则返回对应的节点。因为递归是函数的栈增return不能直接返回到函数调用的阶段，需要一步步返回。
• 为了确保每次返回都是所对应的节点，我们需要进行判断每次返回的节点是否为空。如果不为空，则返回所找到的节点。
• 一旦涉及到需要对递归值进行判断的，都需要进行储存。

如果不进行判断返回，则在下一次函数递归返回中就直接返回空。(错误案例)

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {if (root == NULL) {return NULL;}if (root->val == x) {return root;}return NULL;
}

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七、链式存储二叉树的OJ

7.1、单值二叉树

如果二叉树每个节点都具有相同的值，那么该二叉树就是单值二叉树。

只有给定的树是单值二叉树时，才返回 true；否则返回 false。

输入：[1,1,1,1,1,null,1]
输出：true

本题不可使用遍历。这里我们使用微元法判断一下我们这么确认每个节点都是相同的

使用根节点val与左右孩子的val值分别比较，即可判断出这个节点是否与左右孩子的值相同。
但是我们也不知道左右孩子的全部节点是否相同，但是如果此时不满住条件我们直接可以判断为假，所以我们先对该节点的左右孩子进行判断。

左节点判断结果不为假，继续判断右结点

此时右结点也不为假，所以我们需要递归往下判断，左右孩子的节点是否为假。如此递归，当遇到节点为NULL时，返回true，则说明到叶子节点都不为假，一旦为假，直接返回。

代码实现

bool isUnivalTree(struct TreeNode* root) {if (root == NULL) {  // 基本情况：如果当前节点为空，返回 true（空树被认为是单值树）return true;}// 检查左子节点是否存在且值不同if (root->left != NULL && root->val != root->left->val) {return false;}// 检查右子节点是否存在且值不同if (root->right != NULL && root->val != root->right->val) {return false;}// 递归检查左子树和右子树return isUnivalTree(root->left) && isUnivalTree(root->right);
}

相似的逻辑，我们试试下面的题目：

• 100. 相同的树
• 101. 对称二叉树
• 572. 另一棵树的子树

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八、二叉树的创建和销毁

通过前序遍历的数组：1，2，3，NULL，NULL，NULL，4，5，NULL，NULL，6，NULL，NULL。构建二叉树

首先，我们需要把前序遍历的数组还原为二叉树，还原过程：

由上图可知，前序遍历的数组的还原过程，在数组下标+1我们就进行左孩子的赋值，当左孩子赋值NULL后，程序就返回节点，之后进行右结点的赋值，当右节点也赋值完成后，返回节点地址。

代码实现

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* left;// 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* right; // 指向当前节点右孩子BTDataType val; // 当前节点值域}BTNode;
//前序递归创建二叉树
BTNode* CreateTree(char* arr, int* pi) {if (arr[*pi] == '#') {(*pi)++;return NULL;}BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));node->val = arr[(*pi)++];node->left = CreateTree(arr, pi);node->right = CreateTree(arr, pi);return node;
}void test2() {char arr[] = { '1','2','3','#','#','#','4','5','#','#','6','#','#' };//'#'代表NULLint i = 0;BTNode* node = CreateTree(arr, &i);
}

我们画部分的递归展开图以便理解：

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