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计算学习理论#xff08;computational learning theory#xff09;#xff1a;关于通过“计算”来进行“学习”的理论#xff0c;即关于机器学习的理论基础#xff0c;其目的是分析学习任务的困难本质#xff0c;为学习算法体统理论保证#xff0c;并根据结…1 基础知识
计算学习理论computational learning theory关于通过“计算”来进行“学习”的理论即关于机器学习的理论基础其目的是分析学习任务的困难本质为学习算法体统理论保证并根据结果指导算法设计。
对于二分类问题给定样本集 假设所有样本服从一个隐含未知的分布D DD所有样本均独立同分布independent and identically distributed。
令h为样本到{ − 1 , 1 } 上的一个映射其泛化误差为
h在D 的经验误差为
由于D是D的独立同分布采样因此h hh的经验误差的期望等于其泛化误差。 在上下文明确时我们将E ( h ; D ) 和E ^ ( h ; D ) 分别简记为E ( h )和E ^ ( h ) 。 令ϵ为E ( h ) 的上限即E ( h ) ≤ ϵ E(h)我们通常用ϵ表示预先设定的学得模型所应满足的误差要求亦称“误差参数”。
我们将研究经验误差和泛化误差之间的逼近程度若h在数据集上的经验误差为0则称h与D一致否则称其不一致。对于任意两个映射h 1 , h 2 ∈ X → Y h_1,h_2用不合disagreement来度量他们之间的差别 d ( h 1 , h 2 ) P x ∼ D ( h 1 ( x ) ≠ h 2 ( x ) ) 我们将会用到几个常见的不等式
Jensen不等式对任意凸函数有
Hoeffding不等式若x 1 , x 2 , … , x m 为m 个独立随机变量且满足0 ≤ x i ≤ 1对任意ϵ 0有
McDiarmid不等式
2 PAC学习
概率近似正确理论Probably Approximately CorrectPAC
首先介绍两个概念
C概念类。表示从样本空间到标记空间的映射对任意样例都能使得c ( x ) y 。 H 假设类。学习算法会把认为可能的目标概念集中起来构成H。 若c ∈ H 则说明假设能将所有示例按真实标记一致的方式完全分开称为该问题对学习算法而言是”可分的“否则称为”不可分的“ 对于训练集我们希望学习算法学习到的模型所对应的假设h hh尽可能接近目标概念c。我们是希望以比较大的把握学得比较好的模型也就是说以较大的概率学得误差满足预设上限的模型这就是概率近似正确的含义。形式化地说令δ 表示置信度可定义:
PAC辨识对0 ≤ ϵ , δ 1 所有的c ∈ C 和分布D 若存在学习算法其输出假设h ∈ H 满足 3 有限假设空间
3.1 可分情形
3.2 不可分情形
4 VC维 5 Rademacher复杂度 6 稳定性
